黃金比例臉是真的嗎？向日葵算得準，人臉算不準

這道題出自費波那契 1202 年的《計算之書》（Liber Abaci），到今年是 824 年。兩個細節常被講錯。原書的設定跟現在科普的版本略有不同，一開始就是一對會生的兔子，問一年後有幾對；數出來的數列一樣。而這串數字也不是費波那契最早發現的，它在更早的印度梵文詩律裡就出現過，是因為他而在歐洲出名（Singh 1985）。

φ 等於（1＋√5）÷ 2。反過來算也一樣：55 除以 89 是 0.617977…，往 0.6180339… 靠近。

比值本身也是一個一個的數，只是越來越靠近 φ。換個角度看：數列越長，它越像一條每一步都乘以 φ 的曲線。第 n 項，就是最接近 φⁿ ÷ √5 的那個整數（Binet 公式）。

0.618 有時被叫作「最無理的無理數」。這是數學家之間的暱稱，不是正式術語，但背後的事情是真的。

任何一個無理數，都可以寫成一層套一層的分數，叫連分數。每一層填一個整數。圓周率 π 寫出來是 3; 7, 15, 1, 292, 1, 1…；φ 寫出來是 1; 1, 1, 1, 1…，每一層都是 1。

每一層的數字越大，切在它前面的那個近似分數就越準。π 那一串裡的 292，讓 355/113 準到小數點後第六位，誤差大約 0.0000003。φ 每一層都是 1，是最小的可能值，所以每往下一層，只能進步一點點。同樣把分母限制在 113 以內，φ 最好的近似是 144/89，誤差 0.0000565，比 π 那邊大了約 212 倍。

這件事在 1891 年就被 Hurwitz 證明得很精確：同樣大小的分母，φ 這一類數被分數逼近得最差。說「這一類」，是因為它不是唯一的一個。連分數後面一路都是 1 的數，例如 0.618 本身、2.618，都有同樣的性質，數學上叫 noble numbers。

所以「最難用分數逼近」可以這樣想：拿一個簡單的分數去轉圈，轉幾圈就會回到原來的位置；拿 φ 去轉，轉多少圈都不會剛好回到原點。

模型是 12 片形狀相同的葉子，越上面越新，每一片比下面那片短 3%。每片轉 180° 時，平均每片露出 28%，10 片被蓋住七成五以上；轉 120° 時露出 40%，9 片被蓋住七成五以上；轉黃金角時露出 89%，這 12 片裡沒有任何兩片剛好上下重疊，也沒有一片被蓋住七成五以上。

黃金角精確一點是 360° ×（1 − 0.618…），等於 137.50776…°。正文寫「大約 137.5°」，是因為剛好 137.5° 本身可以寫成一個分數：144 分之 55 圈，所以照剛好 137.5° 轉，到第 145 片會疊回第 1 片上。只有精確的黃金角，才是怎麼轉都轉不回原點。

這是畫給眼睛看的模型，不是植物的實測。真實的植物也不只一種排法：禾本科的葉子就是左右兩排、180° 互生，另外還有對生、輪生。現生植物多數是費波那契那一類的螺旋葉序，這是植物學的共識；但 2023 年《Science》在四億年前的早期石松化石上看到的螺旋，全部不是費波那契（Turner 2023）。這種「不照黃金角」的排法，一樣很古老。

Vogel 的規則寫成式子：第 n 顆種子，轉 n 乘以黃金角，離中心的距離跟 n 的平方根成正比。

常聽到的說法是，黃金角讓種子的空間利用率達到 100%，偏一點點就會在中心留下空洞。這兩件事都要修正。偏離黃金角，壞掉的樣子是整片排成條紋、條紋之間留空，中心並沒有挖出一個洞；往小的方向偏 0.1°，種子數少的時候還不太看得出來。至於 100%，圓形的種子不可能把平面填滿，就算排成最密的六角形，上限也只有 90.69%（π ÷（2√3））。黃金角給的是：在一顆接一顆往外長的條件下，最均勻的排法。Ridley 1982 專門計算過向日葵花盤的堆積效率。

我們用 Vogel 的模型跑 1,000 顆種子（第 n 顆角度＝n × 發散角、半徑＝√n），量每一顆到最近一顆的距離。變異係數越小，代表排得越均勻。

137.6° 在 1,000 顆時已經明顯變差；137.4° 只是稍差，要更多顆才看得出來。連 137.5° 和精確的 137.50776° 之間，都量得到差別。

向日葵的螺旋數：有一個公民科學計畫，請民眾拍下 657 朵向日葵來數螺旋（Swinton 2016）。在作者逐張複核過照片、最可靠的那一批裡，一共數出 768 個螺旋數：565 個（74%）是費波那契數，約四分之一（203 個，26%）不是。把「兩倍費波那契」「Lucas 數」這些近親也算進來，共 632 個（82%）；剩下 136 個（18%），跟任何一種費波那契變形都沾不上邊，作者的原話是「將近 20%」。成對來看，順時針與逆時針兩組都是費波那契數的，有 245 對（66.6%）（表 1、表 3）。

這套排法是怎麼來的？常有人說，是自然選擇花了幾十億年，把不符合數學法則的植物淘汰掉，只留下排得最好的那一種。

時間先不對。植物登上陸地，大約是四億五千萬年前的事。

機制也講反了。葉子長在哪裡，是生長點自己決定的：新的葉芽長在離前面幾片最遠、植物荷爾蒙生長素（auxin）最集中的地方（Reinhardt 2003）。「一個接一個、每一個都避開前面幾個」，這條規則本身就會收斂到黃金角。1992 年有一項物理實驗用磁性液滴做了一次，一顆接一顆，讓新的一顆避開前面的，在一個完全沒有生物的實驗裡排出了同樣的螺旋（Douady 與 Couder 1992）。

那黃金角是不是因為最能接光，才被演化挑中？2020 年一項電腦模型研究測過，其他費波那契類的角度接光一樣好（Strauss 2020）。被留下來的，比較像是那套「避開前面」的長法；黃金角是那套長法自己算出來的。

這套排法後來也被拿去設計太陽能電廠的鏡場：MIT 2012 年的新聞稿寫，照向日葵螺旋排鏡子，電腦模型算出占地可以少約兩成，新聞稿裡沒有說蓋出來實測過（Noone 2012）。

問的是什麼：Kiekens、Bashour、Mizumoto 是相關研究；Pallett 是操作照片的實驗（移動五官位置）。沒有一篇回答「把臉改成黃金比例會不會變好看」這個因果問題。

怎麼量的：吸引力都是評分者主觀打分，Kiekens 用 0 到 100 的視覺類比量表；照片上的點由人工標，Kiekens 由三位觀察者標。Mizumoto 沒有打分。

研究了誰：幾乎全是白人，多數只有女性，樣本幾十人（Kiekens 64 人、Bashour 72 人、Pallett 每個實驗 10 張臉）。Holland 2008 明講面具不適合東亞的臉。套到台灣讀者身上要非常小心，這是最弱的一環。

跟什麼比：Kiekens 比的是「偏離 1.618 多少」對分數；Pallett 是把黃金比例的預測值（0.38）拿出來跟偏好值比，偏好值不是黃金比例。

數字怎麼算出來：Kiekens 一次測 19 個比例、4 個顯著，有多重比較的問題：一次測 19 個比值，在一般的顯著標準下，本來就預期大約會有 1 個是碰巧的，摘要沒有交代是否校正。Bashour 的 25% 到 75% 依加權方法而變，只取最大值會誇大。

巧合或偏差：Mizumoto 的女演員組照片來自雜誌、大小不一；Bashour 的面具偏差實質上在量「接近平均」，黃金比例與平均臉混在一起。系統性回顧（Londono 2024）摘要前後矛盾。

日本的資料：一項研究量了三組年輕女性，30 位矯正病人、30 位模特兒、14 位女演員，照片來自雜誌（Mizumoto 2009）。女演員那一組的 7 項比例都接近黃金比例，模特兒反而有偏離；臉寬方向，三組都不符合。這篇沒有請任何人打分，三組人怎麼被挑出來的也不一樣，推不出「越接近黃金比例的人越好看」。

系統性回顧：有一篇，2024 年發表在牙科補綴學的期刊上（Londono 2024）。它的摘要前後說法不一致：結果段寫比例檢定沒有顯著差異、「暗示自然臉裡找得到黃金比例」；結論段卻寫，在所有族群裡，黃金比例跟臉的評分都沒有顯著關聯，臉高的比例也不符合黃金比例。

效果量：

• Kiekens 2008：4 個黃金比例一起解釋 16% 的吸引力差異；摘要沒有給信賴區間。
• Pallett 2010：四個實驗的受試者分別是 20、34、30、42 位大學生。最佳眼口距離約為臉長的 36%、最佳眼距約為臉寬的 46%；黃金比例的預測值兩者都是 0.38；偏好值與 0.38 的比較 t(2) = −8.63，p < .05，自由度只有 2，是拿三個實驗的值做的檢定，檢定力很弱。40 張白人女性臉的平均：長度比 0.36（SD 0.017）、寬度比 0.46（SD 0.022）。
• Bashour 2006：72 張 18 到 30 歲白人臉，與面具的偏差解釋吸引力分數的 25% 到 75%。
• Mizumoto 2009：女演員 7 項比例都接近黃金比例，模特兒有偏離，臉寬方向三組都偏離；沒有打分。

這些資料支持的是：好看的臉多半接近平均、五官協調。不支持照黃金比例去調整五官。

r 是相關係數，用來描述兩件事一起變動的程度：0 代表沒有關係，1 或 −1 代表完全一起變動，負號表示一個變大、另一個變小。

Matts 2007：均勻度與吸引力、健康、年輕的相關係數都在 0.40 以上；跟估計的年齡是負相關，r = −0.45。研究者再把照片拆成黑色素分布圖和血紅素分布圖，兩張圖的均勻度跟原照片的均勻度相關（r = 0.92 與 0.68），也都跟估計的年齡負相關（r = −0.32 與 −0.38）。

Fink 2012：160 位 10 到 70 歲的英國白人男性的臉頰照片，308 位評分者，結果同樣是分布越均勻，看起來越年輕、越健康、越好看。拆開來看，黑色素分布的均勻偏向影響「看起來幾歲」，血紅素分布偏向影響「看起來健不健康、好不好看」。

Fink 與 Matts 2008：把膚色分布和皮膚表面的紋理分開操作，紋理對「看起來幾歲」影響大，膚色分布對「看起來健不健康」影響大（Matts 也是作者）。

更早的兩篇看的是整張臉。皮膚的均勻度、看起來健不健康，跟整張臉的吸引力有關（Fink 2001）；而且在臉的形狀固定不變時，皮膚仍然有影響（Jones 2004）。

relative odds 是兩組「老化增加」勝算的比值，0.76 表示每天擦那一組的勝算，大約是想擦才擦那一組的四分之三；信賴區間整段小於 1，差別不太像碰巧，但好處到底多大，這個研究說不準。

上面的次數是各試驗的設計，不是建議值。恢復期與結痂的天數，請看〈雷射後一到兩週怎麼照顧？〉，這裡不另寫。

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